Zoektocht naar perfectie: zij die ons voorgingen

Vader van de meetkunde

Geschriften over de Gulden Snede vinden hun oorsprong in de wiskunde en meetkunde. Theano, een Griekse filosofe, wiskundige en leerlinge van Pythagoras schreef als een van de eersten over de goddelijke verhouding. Er zijn verschillende werken van haar gedocumenteerd maar helaas is geen enkele bewaard gebleven.

Het volgende werk waarin de Gulden Snede genoemd wordt is van Euclides, een hellenistisch wiskundige die rond het jaar 300 v.Chr. werkzaam was in de bibliotheek van Alexandrië.

Het handboek Elementen van deze ‘vader van de meetkunde’ is een van de invloedrijkste werken in de geschiedenis van de meetkunde. Euclides bracht in dit boek onder andere bewijs voor de oneindigheid van priemgetallen.

Gulden samenwerking

In 1509 wordt Elementen nieuw leven ingeblazen door de Italiaanse wiskundige Luca Pacioli. In zijn boek De Divina Proportione bespreekt hij zoals de titel al weggeeft de wiskunde van de Gulden Snede. Hij werkt samen met Leonardo da Vinci die voor dit boek ongeveer zestig illustraties maakt, waaronder de bekende Vitruviusman.

De wiskunde die Pacioli presenteert in De Divina Proportione is gebaseerd op de kennis die Fibonacci al eerder met de wereld deelde. De Fibonacci-getallen werden rond 1200 gepubliceerd, een rij waarin elk getal gelijk is aan de som van de vorige twee: AC/CB = 𝜑. 𝜑, afgerond op drie decimalen, 1,618. Dit is de Gulden Snede, door Pacioli de goddelijke verhouding genoemd.

De helderheid waarmee De Divina Proportione geschreven is in combinatie met de illustraties van Da Vinci geven dit boek een impact die ver voorbij de wiskunde reikt.

Van bastaard tot meester

Leonardo da Vinci werd op 15 april 1452 geboren in Anchiano als de bastaardzoon van Piero, een notaris, en Chataria, een boerenmeisje. Hij werd grotendeels opgevoed door zijn vader die al snel zag dat de jongen talent had voor schilderen. Zijn vader introduceerde hem aan Andrea del Verrocchio die een studio runde in Florence.

Leonardo ging bij hem in de leer en werd onderdeel van de Florence Guild of Artists. Deze gilde beheerste allerlei verschillende media en ontwierp alles wat te maken had met de stad. Hier groeide hij uit tot meester in de schilderkust en experimenteerde veel.

Toen de ruzie tussen de Baroncelli en de Medici families oplaaide was er lange tijd sprake van een dreigende oorlog tussen Florence en Napels. De gilde moest zich bezighouden met het verdedigen van Florence en omdat Leonardo door zijn bastaardafkomst niet het leger in mocht hield hij zich bezig met het ontwerpen van wapens. Dit zou gedurende zijn leven een passie blijven die hij slechts korte tijd echt heeft kunnen vervullen.

De tragedie van het genie

Toen er vrede werd gesloten en de dreiging van de oorlog verdween zocht Leonardo naar nieuwe uitdagingen. Hij verhuisde naar Milaan en probeerde zijn carrière als wapenontwerper voort te zetten. Hij bedacht verschillende uitvindingen zoals een tank, een gigantische kruisboog, duikpakken en zelfs een robotsoldaat.

Hij was zijn tijd ver vooruit en geen enkele uitvinding sloeg aan bij zijn opdrachtgevers. Het is de tragedie van het genie: hij zag wat er mogelijk was, maar niemand kon zijn horizon met hem delen. Pas honderden jaren later kunnen zijn ideeën op waarde worden geschat en veel van zijn uitvindingen kunnen vandaag de dag in dagelijkse voorwerpen teruggevonden worden, zoals het kogellager dat hij rond het jaar 1500 voor het eerst beschreef.

Functionerende kogellagers werden pas veel later, rond 1740, voor het eerst gemaakt en het duurde tot 1907 voordat het moderne kogellager werd toegepast. Leonardo was zijn tijd vooruit – vele honderden jaren – maar het is dankzij zijn uitvinding van het kogellager dat de systemen van FritsJurgens vandaag de dag functioneren zoals ze doen, gecreëerd met ingenieuze uitvindingen van vroeger en van nu.

Grondlegger van symmetrie

Leonardo da Vinci bestudeerde voor Pacioli De Architectura van Vitruvius, geschreven tussen 30 en 20 v.Chr. en een van de belangrijkste werken van de bouwkunst en architectuur. De theorieën beschreven in dit boek liggen aan de basis van de werken en onderzoeken van vele wiskundigen.

Marcus Vitruvius Pollio leefde tussen ongeveer 85 en 20 voor Christus en was een Romeins militair, architect en ingenieur. Hij schreef De Architectura libri decem: De bouwkunst, in tien delen. Vitruvius wordt ook wel ‘de eerste ingenieur’ genoemd en zijn De Architectura is een van de meest uitvoerige bronteksten over bouwkunde in de Grieks-Romeinse Oudheid.

Het werk gaat niet slechts over bouwkunde maar ook over de symbolische navolging van de orde in de natuur. Vitruvius was – net zoals Leonardo da Vinci dat eeuwen later was – een homo universalis en volgens Vitruvius moest een architect over zeer uiteenlopende kennis beschikken, zoals filosofie, natuurkunde, muziek, geneeskunde, recht en astronomie. Boek drie en vier gaan over openbare religieuze gebouwen en de daar bij passende symmetrie.

De basis voor deze symmetrie ligt volgens Vitruvius niet in spiegelbeeld maar in de juiste maatverhouding voor zowel tempels als het menselijk lichaam. Dit is waar Leonardo da Vinci zijn tekening van de Homo ad circulum of Vitruviusman op baseert. Het is ook wat architect Le Corbusier eeuwen later inspireert tot het creëren van de Modulor, een menselijke maat voor het ontwerpen van gebouwen.

Perfectie: drie principes in balans

Wellicht het beroemdste nalatenschap van Vitruvius zijn de drie basisprincipes voor goede architectuur: firmitas: stevigheid, utilitas: gebruiksvriendelijkheid en venustas: schoonheid. De drie principes horen volgens hem in balans te zijn en elkaar niet te overheersen.

De naamgever van FritsJurgens, Mr. Frits Jurgens, had een soortgelijke filosofie. “Een perfect ontwerp is innovatief, functioneel, mooi en bruikbaar.” Vanuit deze waarden werkt FritsJurgens nog steeds iedere dag aan het creëren van technische deuroplossingen.

De schoonheid van een ontwerp, de venustas, is volgens Vitruvius en technicus Frits Jurgens terug te vinden in de mate van functionaliteit van het ontwerp. De triade van functionaliteit, schoonheid en gebruiksvriendelijkheid is alleen mogelijk als alle onderdelen de juiste passende maat hebben in verhouding tot het geheel en de overige maten: het eurythmia. Eurythmia is een Latijns woord dat direct is afgeleid uit het Grieks. Het betekent ‘ritmische volgorde of beweging’ of ‘gracieuze beweging’.

De balans tussen stevigheid, gebruiksvriendelijkheid en schoonheid geeft de taatsdeurscharnieren van FritsJurgens hun kracht. Eurythmia: de tijdloze schoonheid van verborgen perfectie en de ultieme deurbeweging.

Mathematische efficiëntie

De Gulden Snede kan ook gevonden worden in de natuur. De intrinsieke schoonheid van de verhouding is terug te vinden in verschillende natuurlijke creaties zoals de verhoudingen tussen takken aan bomen, de vruchten van een ananas of het vermeerderen van bloembollen – elk jaar 1,618 keer zoveel bollen.

We nemen als voorbeeld de blaadjes van een bloem. De gulden hoek bedraagt ongeveer 137,5° en verdeelt een cirkel volgens de Gulden Snede. Als ieder blaadje ten opzichte van haar voorganger een gulden hoek vormt wordt de schijf het efficiëntst gevuld en valt licht optimaal op ieder blaadje. Zouden de blaadjes in bijvoorbeeld een hoek van 120° groeien, dan zou er op drie punten een laag ontstaan van blaadjes die op precies dezelfde plek groeien en dus geen zonlicht vangen.

Weg van de minste weerstand

Deze oorsprong in de natuur zou een verklaring kunnen zijn voor de wijze waarop de Gulden Snede datgene wat ermee ontworpen is het menselijk oog zo perfect doet voorkomen. Omdat hetgeen een onbewust herkenbare verhouding heeft is het gemakkelijker voor het brein om deze informatie te verwerken dan wanneer het niet voldoet aan de Gulden Snede.

Dit maakt de universele esthetiek van de goddelijke verhouding aannemelijk en bruikbaar in allerlei media, van schilderkunst en architectuur tot reclame en dagelijkse producten.

Menselijk abstraheren

Pacioli was niet de laatste die de vindingen van Vitruvius als basis nam voor een groot deel van zijn werk. Tussen 1942 en 1955 ontwikkelt de Zwitsers-Franse architect Le Corbusier een architectonisch maatsysteem dat gebaseerd is op de theorie van de Vitruviusman en de Fibonaccireeks en noemt dit de Modulor.

Le Corbusiers doel is om een wiskundige benadering van de menselijk maat te creëren waarmee gebouwen ontworpen kunnen worden op basis van de maten van de mens. Dit abstraheren van het menselijk lichaam is exact wat Vitruvius ook deed toen hij de Vitruviusman schiep.

De Modulor van Le Corbusier

De Modulor bestaat uit twee reeksen, de rode reeks en de blauwe reeks. Voor de rode reeks neemt Le Corbusier een maat van 183 cm – een maat die hij neemt voor de lengte van het menselijk lichaam – als uitgangspunt en deelt deze herhaaldelijk door 𝜑. De blauwe reeks volgt hetzelfde principe maar dan met een maat van 226 cm. Dit is volgens Le Corbusier de menselijke maat met uitgestrekte arm. Dit komt overeen met een verdubbeling van de navelhoogte van 113 cm die ook al voorkwam in de rode reeks.

De rode reeks: 183, 113, 70, 43, 27…
De blauwe reeks: 226, 140, 86, 54…

Le Corbusier beschrijft zijn reeksen op basis van Fibonacci’s rijen als volgt: “…ritmes die voor het oog duidelijk zijn in hun onderlinge relaties. En deze ritmes liggen aan de basis van menselijke activiteiten. Ze weerklinken in de mens door een organische onvermijdelijkheid, dezelfde verfijnde onvermijdelijkheid die het opsporen van de Gulden Snede veroorzaakt in kinderen, oude mannen, wilden en geleerden.”

Meetkundig meesterwerk

Het bekendste voorbeeld van een door Le Corbusier op de Modulor gebaseerd gebouw is het Unité d’Habition. Deze wooneenheid of verticale stad voldoet op verschillende manieren aan de door Le Corbusier opgestelde reeksen.

De afmetingen van de individuele appartementen, de losse elementen van de façades en verschillende soorten bovenbouw op het dak zijn allemaal te herleiden tot de Modulor. Volgens sommige onderzoeken naar de Unité zijn ook de drie grootste afmetingen – de lengte, breedte en hoogte van het gebouw – gebaseerd op de Modulor.

De schijn van de Gulden Snede

Van veel architecten en kunstenaars wordt beweerd dat zij bewust de Gulden Snede hebben toegepast in hun werken. Een van die kunstenaars is Piet Mondriaan. Zijn werken lijken uitgemeten, uitgedacht.

Op het eerste oog is een bewust verband met de Gulden Snede voor de hand liggend. Mondriaan werkte echter slechts een korte periode met uitgemeten modulen van 16 bij 16 die ieder weer exact de vorm van het schilderij hadden – afgezien van deze periode verwierp Mondriaan iedere wiskundige berekening voor zijn kunst: “Toeval moet even veraf zijn als berekening.”

Al experimenterend veranderen de werken van Mondriaan door de tijd heen, maar een constante blijft de spontaniteit en het proefondervindelijke karakter van de schilderijen. Hij verwerpt de toepassing van de Gulden Snede van een van zijn trouwste leerlingen, Marlow Moss, en blijft bij zijn eigen intuïtieve bron van het creatieve proces.

Charles Bouleau onderzocht een drietal werken van Mondriaan op het voorkomen van de Gulden Snede. In zowel Tableau I, Compositie met twee lijnen en Broadway Boogie Woogie ontdekt Bouleau een onderliggend raster dat voldoet aan de waarden van de Gulden Snede.

Bij veel van Piet Mondriaans werken zijn sporen van overschilderen te vinden. Rusteloos experimenteerde hij met de vakken en lijnen op het doek, net zo lang tot er een bevredigende compositie ontstond. Ondanks het verwerpen van meetkundige theorieën in de kunst zou het dus kunnen dat, door het constant zoeken naar perfectie, Mondriaan een equivalent van de Gulden Snede heeft gecreëerd in een aantal van zijn werken.

Toevallige schoonheid?

Hetzelfde geldt wellicht voor de ontwerpers van bekende architectonische hoogstandjes zoals de Piramide van Kukulkán, de Grote Moskee van Kairouan, de Stupa van Borobudur, de Piramide van Cheops, het Parthenon, de Notre Dame en de Taj Mahal.

Bij sommige gebouwen wordt er getwijfeld of de makers de kennis van Gulden Snede al wel konden bezitten, bij andere gebouwen wijken maten af, bij weer andere voldoet slechts een deel van het gebouw aan de Gulden Snede. Wat wel algemeen gesteld kan worden is dat ieder van deze ontwerpen een sterke esthetische aantrekkingskracht heeft op veel mensen. Wellicht was de intentie van de ontwerpers niet het toepassen van de Gulden Snede – al dan niet door het ontbreken aan kennis erover – maar het streven naar perfectie.

Net als bij werken van Piet Mondriaan kan het zo zijn dat perfectie in deze bouwwerken dusdanig is nagestreefd dat het niet anders kon dan dat de goddelijke verhoudingen zich in het uiteindelijke resultaat zouden presenteren.

Ontworpen, geschilderd, gecreëerd: absolute perfectie

Het nastreven van absolute perfectie, al dan niet door het toepassen van de Gulden Snede, is een doel op zichzelf ongeacht het medium.

Door het steeds opnieuw ‘overschilderen’ van hetgeen dat gecreëerd wordt kan uiteindelijk deze goddelijke verhouding ontstaan: een gebouw dat op het eerste oog direct logisch lijkt, een schilderij dat je volledige aandacht opeist nog voor je de zaal goed en wel betreden hebt, een beweging zo soepel en vloeiend dat het volledig vanzelfsprekend wordt – Le Corbusier ontwierp het, Mondriaan schilderde het en FritsJurgens streeft er iedere dag opnieuw naar. Absolute perfectie is het doel.